Introduction to Free Boundary Minimal Surface

날짜 : 2023-06-19 02:40

주제 :GeometryMinimal-SurfaceFree-Boundary

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Abstract

기하학 겨울학교에서 영역 안에 놓인 곡면이 경계를 따라서 영역의 경계와 수직으로 만나는 곡면의 중 평균곡률이 0인 자유경계 극소곡면에 관한 소개 강연을 한다. 자유경계 극소곡면에 관한 4개의 강연의 첫번째로 자유경계 극소곡면의 기하학적 의미와 알려진 예들과 기하학적 특성(넓이, 고윳값의 관계, 위상에 따른 특성화에)에 관한 정리를 소개한다.

내용

Free Boundary Minimal Surface

Second Funcamental Form

$A:T{\Sigma }^2\to N\Sigma$ Bilinear opeartor $A\left(e_i,e_j\right)={\left(\bar{\nabla }{e}_i,e_j\right)}^{\perp }=h_{ij}N$

$\vec{H}={\Delta }_{\Sigma }X=\left({\Delta }_{\Sigma }{x}^i\right)$ where $x^i$‘s are harmonic function.
넓이가 가장 빠르게 변함

Equatorial disk

$\Sigma \subset S^3\text{minimal}⟺\Sigma \subset B^3$ in Free

Minimal Surfaces

1. Complex analysis
   1. $\Sigma$: Riemann Surface
   2. $g$: meromorphic, $f$: holomorphic
2. Locally $H=\text{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+{|\nabla u|}^2}}\right)=0$ so that Quasi-Linear Elliptic

Subharmonic Maximum Principal

Existence Rotational Symmetry

Critical-Catenoid

Steklov Eigenvalue

$\Sigma$ has no genus

PDE

PDE Technic to minimal

1. Desingularization

   1. Scheck Surface

2. Doubling

출처(참고문헌)

2011, 2016 Fraser-Schaem 2016, 2011

연결문서

Geometry SOP PDE SOP