제가 하고 싶은 연구는 Geometry와 Topology에 관한 것입니다. 현재 학부 4학년으로서 공부한 내용은 Smooth Manifold위에서의 Minimal Surface와 Topological Knot Theory입니다. 제가 하고자하는 연구는 크게 3가지로 분류할 수 있습니다.
첫번째로는 Topological side입니다. Low-Dimensional Topology & Knot Theory에 관해서 김승원 교수님과 함께 공부를 하였습니다. 학부때 공부하여 발표한 내용으로는 Jones Polynomial이 있습니다. 이 Jones Polynomial은 Knot invariant로써 Topological Quantum Field Theory(TQFT)의 Quantum invariant로 활용할 수 있습니다. 또한 Jones Polynomial의 Categorification으로써 Khovanov Homology가 있습니다. Khovanov Homology의 Euler Characteristic으로 Jones Polynomial임을 알 수 있습니다. 이 Khovanov Homology를 이용하여 Knot classification과 Low-dimensional topological manifold를 연구할 수 있습니다. 이처럼 Topology를 활용하여 TQFT와 Low-dimensional Topology를 연구하고 싶습니다.
두번째로는 Geometric Analysis입니다. 그 중에서도 Geometric Flow와 Minimal Surface입니다. Mathematical Physics에서 블랙홀과 관련된 내용으로 질량과 면적이 주어지면 만족하는 Riemannian Penrose Inequality가 있습니다. Penrose Inequality에서 등호가 성립하는 순간 그것을 만족하는 블랙홀은 Schwardchild Minimal Surface가 됩니다. 이와 관련된 내용으로 Geometric Flow가 있습니다. 곡률이나 다른 값을 최소화하는 방향으로 기하가 바뀌는 흐름입니다. 그 중에서도 특히 Mean Curvature Flow와 관련된 Curve Shortening Flow에 대해서 공부하여 마찬가지로 발표하였습니다. 앞서 언급한 Riemannian Penrose Inequality의 조건에서 Minimal Surface 조건과 Boundary condition을 약화시킨 conjecture가 남아있습니다. 이에 대하여 연구해보고 싶습니다.
마지막으로 Topology와 Geometric Analysis를 동시에 하는 것도 관심있습니다. 앞서 말씀드린것처럼 Knot은 Topology와 깊은 연관이 있습니다. 특히나 Knot이 Surface의 boundary로서 존재할 수 있는데 그런한 Knot의 예시로 Slice knot가 있습니다. 현재 존재하는 conjecture인 Slice knot 과 Ribbon knot은 같다가 있습니다. 이 conjecture를 해결하는 방법으로 Minimal Surface로 geometrization하여 풀 수 있다는 것도 알게되었습니다. 비슷한 예시로 Thurston’s Geometrization Conjecture같이 Topological한 것을 기하화하여 문제를 해결해보고 싶습니다.